امروز مطلبی را در وبلاگ اویلر ریاضیدان دیدم که با کمی اصلاحات آنرا می آورم:
همه شما کم وبیش در مورد پارادوکس های ریاضی می دانید. مطب زیر پارادوکسی هندسی است که به صورت معما برای خیلی ها پیش آمده است:
به دو شکل زیر دقت کنید :


همانطور که در اشکال بالا مشاهده میکنید مستطیلی به عرض 5 و
طول 13 داریم و مربعی با طول و عرضی برابر یعنی 8 . اگر کمی دقت کنید با
توجه به برشهایی که در مربع ایجاد شده، این برشها را می توان جابجاکرده و
به صورتی دیگر کنار هم قرار دهیم و به شکل مستطیل رسید. حال دیده می شود
که مساحت مربع برابر است با 64، و مساحت مستطیل برابر است با 65 !!
در حالیکه جهت تغییر شکل مربع به مستطیل از نظر مساحت هیچگونه
تغییری انجام ندادیم بلکه با چند برش ساده مربع را به مستطیل تبدیل کردیم.
علت این تفاوت چیست؟
این مساله یکی از ترفندهای هندسه می باشد. در زیر دلیلی برای این پارادکس می آوریم:
دنباله فیبوناچی زیر را در نظر بگیرید: ... ،144 ، 89 ، 55 ، 34 ، 21 ، 13 ، 8 ، 5 ،3 ، 2 ، 1 ، 1 ، 0
اگر دنباله فیبوناچی رو با نماد
نمایش دهیم، دنباله فیبوناچی را میتوان بصورت زیر نوشت :

رابطه زیر را که به فرمول کاسینی معروف است را به راحتی می
توان اثبات کرد (مقاله در مورد دنباله فیبوناتچی را در همین وبلاگ مطالعه
نمایید)

حال، در اتحاد بالا به ازای
خواهیم داشت 
یعنی در شکل پارادکس بالا یک مربع اضافه خواهیم داشت که در اتحاد بالا به ازای 5 به آن رسیدیم.
بطور کلی، با هر مربعی که طول ضلعش یک عدد فیبوناچی (مانند
مثال ما در شکل فوق یعنی عدد 8 ) باشد میتوان چنین ترفندی را ترتیب داد.
اگر به شکلهای زیر دقت کنید، حالت کلی این پارادکس را در حالتیکه جمله
انتخابی دنباله فیبوناچی با اندیس زوج باشد سطح مربع یک واحد از سطح مستطیل
کمتر خواهد بود.


در شکل فوق قسمت مشکی رنگ که به شکل یه متوازی الاضلاع می باشد، (قسمت اضافی) بنا بر اتحاد کاسینی برابر 1 خواهد بود بطوریکه

و بنابراین حل مساله کامل است.
نکته : لازم به ذکر می باشد در حالتیکه جمله
انتخابی دنباله فیبوناچی اعداد فرد باشد مساله دقیقا حالت عکس به خودش
میگیرد یعنی مساحت مربع یک واحد بیشتر از مساحت مستطیل خواهد بود.